تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط.

مقدمة:
لأن الانحناء هو التأثير الذي تخضع إليه العوارض بكثرة و في جميع الميادين كالميكانيكا، البناءات و البناءات المعدنية، و يتسبب في تشوهاتها، يتطرق إليه المهندس و التقني المختص في هذه المجالات أثناء دراساتهم للمشاريع للقيام بالحسابات الضرورية من اختيار المواد و أشكال العوارض و الأبعاد و ذلك لضمان الظروف الآمنة لأداء الوظيفة.
الأهداف:
معرفة حساب الجهد القاطع.
معرفة حساب عزم الانحناء.
تمثل و استعمال المنحنى البياني للجهود القاطعة و عزوم الانحناء.
حساب إجهاد الانحناء الأقصى.
حساب أبعاد العارضة، و اختيار المادة المناسبة و شكل المقاطع القائمة بتحقيق شرط المقاومة...
حساب تشوه العارضة.
عناصر الدراسة:
تطرقنا في دراستنا هذه إلى الانحناء المستوي البسيط للعوارض المتجانسة المواد و ذات المقاطع العمودية الثابتة، المعرضة إلى قوى مركزة أو موزعة، وفق العناصر التالية:
I ـ عموميات
ـ تعريف
ـ فرضيات
ـ أنواع الارتكازات
IIـ الانحناء المستوي البسيط: قوى مركزة
ـ الجهد القاطع
ـ عزم الانحناء
ـ إجهاد الانحناء
ـ شرط المقاومة
ـ التشوه
ـ تطبيق
IIIـ الانحناء المستوي البسيط: قوى موزعة
ـ تعريف
ـ حمولة موزعة بانتظام
ـ مميزات الحمولة الموزعة
ـ تطبيق
IVـ حساب المقياس التناسبي ( الموديول ) لعجلة أسطوانية ذات أسنان قائمة
Vـ ملحقات
عموميات

1- تعريف:
تكون عارضة خاضعة لتأثير الانحناء، لما يكون تشوهها عبارة عن «حني» خطها المتوسط نتيجة للتأثيرات الخارجية المطبقة عليها.
بتبسيط هذه المؤثرات الخارجية في مقطع قائم ذي مركز ثقل (مر)، نتحصل على شعاعية متكونة من:
: جهد قاطع، مماسي على المقاطع القائمة.
: عزم انحناء

شكل1: تبسيط العناصر في مقطع قائم

2- فرضيــات :
في الانحناء المستوي البسيط نفرض ما يلي:
أ- نمثل الأجسام بعوارض موضوعة على إرتكازين أو مندمجة في أحد طرفيها.
ب- للعارضة مستوى تناظر.
ج- المؤثرات الخارجية مطبقة في مستوى تناظر العارضة و تكون عمودية على الخط المتوسط.


شكل 2: المقاطع العمودية للعارضة

د- تشوهات العارضة تكون مرنة و صغيرة مقارنة بأبعاد العارضة ( نظرية برنولي BERNOULLI).
هـ - المقاطع العمودية تكون و تبقى كذلك قبل و بعد التشوهات.

3- أنواع الارتكازات:
3-1 : ارتكاز بسيط:
الالتماس بين العارضة و الارتكاز يكون وفق مستقيم عمودي على مستوى تناظر .
يمنع الارتكاز البسيط حركة انتقال العارضة وفق المحور (أ ع).
نمثل تأثير الارتكاز (2) على العارضة (1) بقوة عمودية على أب.

شكل 3: ارتكاز بسيط

3-2 : ارتكاز مفصلي:
و يدعى أيضا ارتكاز مزدوج، و يمثل في الواقع محور مفصلي عمودي على مستوى تناظر العارضة.
في حالة خضوع العارضة لقوة مائلة، يكون رد فعل الارتكاز بمركبتين: و .
يمنع الارتكاز المفصلي الحركة وفق (أس) و ( أع).

شكل 4: ارتكاز مفصلي

3-3 : الاندمــاج:
يمنع الاندماج كل حركة نسبية بين القطع (1) و (2).
تمثل الاندماج بـ:
- قوة و تكون عمودية على العارضة
- عزم اندماج

شكل 5: اندماج

ملاحظة:
في بداية دراسة الانحناء المستوي البسيط، ينبغي معرفة المؤثرات الخارجية المطبقة عليها و ذلك بتحديد ردود الأفعال في الارتكازات أو الاندماج حسابيا أو بيانيا.
الانحناء المستوي البسيط: قوى مركزة

4- الجهد القاطع:
بعد حساب كل المؤثرات الخارجية المطبقة على العارضة، بما في ذلك ردود الأفعال في المرتكزات أو الاندماج، نقوم بحساب الجهد القاطع م في مقطع قائم ذي مركز ثقل « مر» بفاصلة « س ».
يساوي الجهد القاطع الجمع الشعاعي للقوى الخارجية العمودية على الخط المتوسط و الواقعة في نفس الجهة (على يسار المقطع مثلا).

شكل 6: حساب الجهد القاطع في المقطع القائم ذي مركز ثقل مر


نسقط هذه المعادلة على المحور (أع):
م = - أ + ق1 - ق2 + ق3
5- عزم الانحناء:
يساوي عزم الانحناء في مقطع قائم ذي مركز ثقل مر، الجمع الهندسي لعزوم القوى الخارجية العمودية على الخط المتوسط بالنسبة لـ مر و الواقعة في نفس الاتجاه (على يسار المقطع مثل).
في المثال السابق:

ملاحظة:
بإمكاننا كتابة و حساب الجهد القاطع بدلالة عزم الانحناء في نفس المقطع القائم، حيث:
6- إجهاد الانحناء:
في الانحناء المستوي البسيط، يكون الإجهاد «ناظمي» σ على المقاطع القائمة، و تهمل قيمة الإجهاد المماسي τ.
بيّنت التجارب المنجزة على العينات، بأن الإجهاد الناظمي للانحناء σ في نقطة ج، يكون متناسب مع المسافة ع الحاصلة بين هذه النقطة و الخط المتوسط.
كما لوحظ أثناء التجارب بأن للأشكال الهندسية و أبعاد العارضة في المقاطع القائمة تأثير في قيمة الإجهاد الناظمي σ، حيث:


σج : الإجهاد الناظمي للانحناء في النقطة ج [ن/ملم2].
عز نح : قيمة عزم الانحناء في المقطع القائم المدروس [ن . م].
عترص : العزم التربيعي للمقطع القائم بالنسبة للمحور (مر ص) [ملم4]. (ملحق1)
ع : المسافة من الخط المتوسط إلى النقطة ج [ملم].
ملاحظة:
1- في النقطة مر، ( ع = 0 )، يكون الجهاد معدوم، σمر = 0.
2- في النقاط المتساوية المسافة إلى الخط المتوسط، يكون الإجهاد الناظمي متساوي، σج = σجَ.
3- في النقطتين أ و ب يكون للإجهاد الناظمي للانحناء أقصى قيمة ، ( ع أقصى = ρ )
σأقصى = σأ = σب = ( عزنح / عترص ) . ρ
4- σأ = σب = عزنح / ( عترص / ρ )
تسمى القيمة (عترص / ρ) موديول الانحناء للمقطع القائم [ ملم3].
7- شرط المقاومة:
من أجل اشتغال العارضة في ظروف آمنة، ينبغي على الإجهاد الناظمي الأقصى للانحناء أن يكون أصغر من قيمة تدعى المقاومة العملية (مق ع) .

تحديد قيمة المقاومة العملية:
نحسب المقاومة العملية «مق ع» بدلالة المميزات الميكانيكية الخاصة بمادة العارضة: (ملحق3)

بحيث: مق م : مقاومة المرونة
مق أ : مقاومة الانكسار
a و aَ : معامل أمن.
تحديد القيمة القصوى لإجهاد الانحناء:
نحسب σأقصى في المقاطع القائمة الأكثر تحملا، أين تكون قيمة عزم الانحناء قصوى، و في أبعد نقطة من الخط المتوسط ( ع أقصى = ρ ).

8- التشوه:
في الانحناء المستوي البسيط يقاس تشوه الخط المتوسط بالسهم "ع"، حيث:

عََ : الاشتقاق الثاني ل ع = تا (س).
عز نح: قيمة عزم الانحناء في المقطع المدروس.
عترص : العزم التربيعي للمقطع.
E : معامل المرونة الطولية (أو موديول يونق - Module de YOUNG).

تطبيق:
يمثل الشكل التالي عارضة موضوعة ارتكازين بسيطين " أ " و " ب "، مهملة الثقل.
طول العارضة ل = 4 م و تتحمل قوة في النقطة " ج " ، ق = 3000 ن.
1 ـ لندرس الجهود القاطعة و عزوم الانحناء مع رسم منحنياتها البيانية.
2 ـ لنحسب قيمة σأقصى.
3 ـ احسب السهم عأقصى .

الحل
1- حساب ردود الأفعال في المرتكزات:
العارضة في حالة توازن.
شروط التوازن:

بإسقاط معادلة القوى على (أ ع):
أ – ق + ب = 0 ............... (1)
بإسقاط معادلة العزوم:
ق . ل/2 = ب . ل Ü ب = ق / 2 = 3000 / 2 = 1500 ن
من المعادلة (1):
أ = ق – ب = 3000 – 1500 = 1500 ن

2- دراسة الجهود القاطعة:
نجزء العارضة إلى منطقتين.
كل قوة واقعة على يسار المقطع القائم و اتجاهها إلى الأعلى تنتج جهد قاطع سالب.
المنطقة (أ ج):
0 ³ س ³ ل / 2:
لدينا:
بالإسقاط:
م1 = - أ = - 1500 ن

المنطقة (ج ب):
ل/2 ³ س ³ ل

بالإسقاط:
م2 = - أ + ق
م2= -1500 + 3000 =1500 ن

3- دراسة عزوم الانحناء:
كل قوة واقعة على يسار المقطع القائم اتجاهها إلى الأعلى تنتج عزم انحناء موجب.
المنطقة (أ ج):
0 ³ س ³ ل / 2 :
عز نح1 = أ . س
لما س = 0 Ü عز نح1 = 0
لما س ل/2 = 2 م Ü عزنح1 = 1500×2 = 3000 ن.م
المنطقة (ج ب):
ل/2 ³ س ³ ل
عز نح2 = أ . س – ق . ( س – ل/2 )
لما س = ل/2 Ü عز نح2 = 1500×2 = 3000 ن.م
لما س = ل Ü عز نح2 = 1500×4 - 3000×2 = 0
3- المنحنيات البيانية:



4- حساب إجهاد الانحناء الأقصى:

sأقصى= ( عزنحأقصى / عتر ص ). r
عزنحأقصى = 3000 ن . م
r= 80/2 = 40 ملم
العارضة مقاطعها مستطيلة كما هو مبين على الشكل
عتر ص = (50×80 3)/12 = 2.13×10 6 ملم4
sأقصى= (3000× 10 3/ 2.13 × 10 6).40= 28.16 ن/ملم2


التحقق من شرط المقاومة:
مادة العارضة هي 355 S ، بمقاومة المرونة مق م = 355 ن / ملم2 ، و بمعامل أمن a = 5 ، نتحصل على :
مق ع = مق م / a = 355/5 = 71 ن/ ملم2
sأقصى = 28.16 ن/ ملم2> مق ع = 71 ن/ ملم2
العارضة تقاوم القوة المطبقة عليها.
5- حساب السهم ع أقصى:
نكتب معادلة السهم بدلالة " س" :
عََ = - عز نح / ( عتر ص . E )
المنطقة (أ ج):
عز نح = أ . س Ü عََ = ( أ . س ) / ( عتر ص . E )
عََ = - ( أ / ( عتر ص . E )) . س
نسمي القيمة : A = - ( أ / ( عتر ص . E ))
نتحصل على : عََ = A . س
بالتكامل نتحصل على: عَ = ( A س2 / 2 ) + B
و أيضا: ع = ( A س3 / 6 ) + B س + C ـ...............(1)
نحدد قيم المجهولين B و C :
لما س = 0 ، ع = 0 ( انعدام التشوه عند الارتكاز ) ، و من المعادلة ( 1 ) : C = 0
لما س=ل ، ع=0 Ü A ل3/ 6 + B ل=0 Ü B= - (A ل2)/6
Ü ع = ( A س3 /6 ) – ( A ل2 / 6 ) . س
و بالتعويض:

ملاحظة:
1- ع تبلغ قيمتها القصوى لما عَ = 0 ، أي لما س = ل/2

2- التشوه متناسب مباشرة مع القوى المطبقة و طول العارضة، لهذا ينبغي أخذ هذه العوامل بعين الاعتبار من أجل تحديد قيمة السهم "ع" و ذلك بمضاعفة حوامل أعمدة الآلات مثلا.
3- التشوه متناسب عكسيا مع معامل المرونة الطولية E و العزم التربيعي، و لهذا ينبغي اختيار عوارض بمقاطع مادتها تكون الأبعد ممكن من الخط المتوسط.